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Extremwertaufgaben revisited
von Plapperkatze am 24.Oktober 2010 um 15:09
Man glaubt nicht, wie schnell man, wenn man aus Schule/Studium draussen ist, all den Kram wieder vergisst, wenn man nicht regelmässig damit konfrontiert ist. Das Hirn (und meines ganz besonders) neigt dazu, nicht verwendetes Wissen in irgendwelche staubigen Ecken zu schieben, wo man nicht mehr drankommt; wenn man nicht gar davon ausgehen will, dass es ohne viel Umschweife alles komplett wieder vergisst.

Die letzten Tage habe ich mich wieder mit Extremwertaufgaben befasst, weil mein Bruder in seiner Schule damit konfrontiert ist. Mehr für mich selbst als für die Leserschaft schreibe ich hier mal auf, wie man zB einen Zylinder oder einen geraden Kreiskegel auf maximales Volumen optimiert.

Profis werden die Augen verdrehen, dass jemand es für nötig hält, über so etwas zu schreiben, aber vielleicht stolpert der eine oder andere Schüler über diese Seite und es ist ihm hilfreich.

Der Zylinder
Man kann sich vorstellen, dass es bei so einem Zylinder eine Geometrie (Kombination aus Radius r und Höhe h) gibt, bei der sein Volumen maximal wird. Es könnte zB auch gefragt sein, mit welcher Geometrie bei gegebene Volumen die Oberfläche des Körpers minimal wird. Oder es ist einfach das Verhältnis aus h und r gefragt bei der sich maximales Volumen ergibt (ob es sich nun um ein Ölfass oder eine Suppendose handelt, ist ja nur eine Frage des Maßstabs).  

Das Volumen ergibt sich zu

und die Oberfläche zu

wenn wir von einem Zylinder mit 2 Deckelflächen ausgehen.

Nun, sagen wir, ist nach dem maximalen Volumen gesucht, unabhängig von konkreten Zahlenwerten. V(r,h) wird damit zu unserer Hauptbedingung, F(r,h) zur Nebenbedingung. Wir setzen also die Fläche mal willkürlich gleich 1 und formen nach h um und erhalten


Wenn wir das nun in die Hauptbedingung einsetzen, haben wir eine Formel, die nur noch von r abhängt, das ist perfekt für eine Extremwertbestimmung:


Diese Formel lässt sich umformen zu:


Dann kann man PI*r kürzen und ausmultipizieren und kriegt ein:


Das ist schön. Nun kann man das ableiten und gleich 0 setzen um lokale Extrema zu bestimmen:


Da der Radius r nicht negativ werden kann erhalten wir als Lösung r=0,23.

Nun müsste man prüfen, ob es sich bei dem Extremum um ein Maximum handelt, das ist ja der Fall, wenn die 2te Ableitung an dieser Stelle negativ ist:


Fein, wir haben ein Maximum. Weiter oben haben wir aus der Nebenbedingung h(r) bestimmt, da setzen wir nun die 0,23 ein um die Höhe des Zylinders zu kriegen:


Nun kann man das Verhältnis h/r bilden 0,46/0,23=2 und erhält den bekannten Zusammenhang, dass unser Zylinder bei Höhe=2*Radius sein maximales Volumen hat.

Gerader Kreiskegel (mit Deckel)
Beeindruckt davon, wie leicht das doch ging machte sich eure Katze nun gleich daran, das selbe Spielchen mit einem Kegel umzusetzen, musste aber schnell feststellen, dass dort die Ableitungen nicht mehr ganz so schnuckelig sind, wenn man etwas aus der Übung ist. Insgesamt saß ich da eine ganze Weile dran.





Die Seitenlänge s des Kegels kann man ja mit Pythagoras auf zurückführen und das in die Flächenformel einsetzen:


Nun wieder die Fläche als 1 angenommen und nach h umgeformt:


Wenn wir nun quadrieren erhalten wir rechts ein Binom, das aufgelöst folgendes ergibt:


Da sich r² kürzt, wird h zu


Das kann man nun in die Hauptbedingung einsetzen und bekommt ein


Das soll nun abgeleitet werden. Dazu betrachten wir zuerst die Wurzel, wobei wir den Wurzelinhalt auf einen Nenner bringen und mal ableiten (Quotientenregel):


Nun die Wurzel berücksichtigt ergibt sich ein


Wenn man den Nenner in der Wurzel dieses Terms "vor die Wurzel zieht", kann man kürzen und erhält


Nun flugs mit der Produktregel also den ganzen Term abgeleitet und soweit es geht vereinfacht:


Ein lokales Extremum finden ist nun nicht sonderlich schwer:


Allerdings muss man noch nachweisen, dass das ein Maximum ist, dazu brauchen wir die 2te Ableitung. Das geht wieder mit der Quotientenregel. Nennen wir den Zähler u und den Nenner v, dann ergibt sich


Den Zähler ableiten ist einfach, das wird


Für den Nenner habe ich zuerst die "3" in die Wurzel reingebracht, dann wird es einfacher, finde ich:


Nun also nochmal emsig ans Werk und die Quotientenregel angewendet:


Öffff das war ja was. Wohlverdient setzen wir in diese 2te Ableitung nun unsere oben errechneten 0,2821 ein und erhalten -3,34 das heisst wir haben dort ein lokales Maximum.

Mit oben gestrickter Formel können wir nun aus dem r die Höhe h berechnen:


Nun kann man das Verhältnis h/r bilden 0,7978/0,2821=2,83.

Der Öffnungswinkel des Kegels ergibt sich damit zu


Der C-Programmierer wird nun einen kleinen Code schreiben, um das Ergebnis zu prüfen:
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>

#define PI 3.151492654

int main()
{
 double V,F,ratio,r,h=1;

 for(r=.1;r<2;r+=.01)
 {
   // Voumen berechnen
   V=(PI/3)*r*r*h;

   // Flaeche berechnen
   F=PI*r*r+PI*r*sqrt(r*r+h*h);

   // das volumen hat, sagen wir, m^3 als einheit, die flaeche hat dann m^2 als einheit.
   // um auf ein verhaeltnis zu kommen (ohne einheiten) müssen wir normieren:
   ratio=(V*V)/(F*F*F);

   // Ausgabe
   printf("ratio (Volumen %lf/Fläche %lf) %lf bei r=%lf mit h=%lf\n",V,F,ratio,r,h);
 }
 getch();
 return 0;
}

Wie man sieht, trifft man (im Rahmen der gewählten Genauigkeit) das Maximum bei 2,83 halbwegs gut:


Mathematiker werden den Sachverhalt anhand des Graphen prüfen:

Rot ist V(r), Blau ist V'(r).

Gruesse von der Plapperkatze

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